Random walks and contracting elements VI: Random 3-manifolds (준비 중)
랜덤 워크와 축약하는 등거리사상에 관한 논문 시리즈 중 여섯번째로, 사상류 군 위에서의 랜덤 워크를 생각해 Heegaard 거리에 대한 중심극한법칙을 정립한다. 이는 Maher의 이전 결과들을 기초로 한 것이다. 또, Viaggi의 방법론을 주의 깊게 살펴봄으로써 랜덤한 Heegaard 쪼개기 및 사상 토러스의 쌍곡 부피에 대한 지수함수적인 한계를 정립한다.
Random walks and contracting elements IV: Sublinearly Morse boundary (준비 중)
랜덤 워크와 축약하는 등거리사상에 관한 논문 시리즈 중 네번째로, 여기서는 축약하는 등거리사상을 지니는 거리공간에 대해 Qing, Rafi 및 Tiozzo가 정의하고 공부한 준선형적 Morse 가장자리(sublinearly Morse boundaries). 최근 Gekhtman, Qing 및 Rafi는 준선형적 Morse 가장자리가 Teichmüller 공간 및 CAT(0) 공간 위에서의 랜덤 워크를 잘 파악한다는 것을 증명했다. 이 논문에서는 같은 결과를 독립적인 접근법으로 얻어낸다. 특히, 유한 p차 모먼트를 가지는 랜덤 워크는 $o(n^{1/p})$-Morse 가장자리가 파악할 수 있다는 것을 증명한다. 또한, 이 가장자리 위에서의 조화적 측도의 감쇄율을 분석한다.
Random walks and contracting elements V: Differentiability of the escape rate .
arXiv:2403.09992 (2024)
축약하는 등거리사상을 수반하는 랜덤 워크에 대한 방향 전환 기술 (pivoting technique)를 이용하여, 랜덤 워크의 탈출 속도(escape rate) 및 점근적 엔트로피(asymptotic entropy)의 연속성을 논한 논문이다. 먼저 축약하는 등거리사상을 포함하는 거리공간의 등거리사상 군 위에서 1차원 매개변수로 매개화된 측도들 $\mu_{t}$를 생각한다. 이 측도들이 특정 조건--구체적으로는, 어떤 부호 달린 측도 $\eta$에 대해 $|\mu_{t} - \mu_{0} - t\eta|$가 $L^{1}$-관점에서 $o(t)$이다--을 만족하면 랜덤 워크의 탈출 속도(escape rate)가 미분 가능함을 증명한다. 이 미분 가능성은 Mathieu와 Sisto에 의해 증명된 바 있는데, 그들이 요구한 조건은 Radon-Nikodym 미분계수 $f_{t} = d\mu_{t}/d\mu$를 수반하는 것이었다. 또한 탈출 속도의 연속성에 관한 Gouëzel의 증명과 변위 엔트로피의 아선형적 증가(sublinear growth)에 관한 Chawla-Frisch-Forghani-Tiozzo의 결과를 응용하여, 점근적 엔트로피의 연속성을 증명한다.
Random walks on groups and superlinear divergent geodesics
Kunal Chawla, Vivian He 및 Kasra Rafi와 공저, arXiv:2310.18506 (2023)
군 위에서의 무작위 행보에 대해서는 상당히 풍부한 이론이 축적되어 왔지만, 이 이론은 일반적으로 quasi-isometry에 불변하지는 않는다. 그럼에도, 어떤 군론적인 QI-불변 성질은 군의 기하 구조에 제약을 주어 그 군들 위에서의 무작위 행보에 대해서 QI-불변하는 명제를 이끌어 낼지도 모른다. 최근 Goldsborough와 Sisto는 이러한 방향에서의 첫 결과를 얻었는데, 어떤 쌍곡 공간에 쌍곡적인 등거리사상으로 작용하면서 동시에 군 안에서는 super-divergent한 원소를 포함하는 군 G에 대해서는 이러한 목표가 성립한다는 것이었다. 다시 말해, 이러한 군 G 위에서의 중심극한정리뿐만 아니라, 군 G와 quasi-isometric한 군 H 각각마다 중심극한정리가 성립한다는 것이다. 본 논문은 G가 Gromov 쌍곡 공간에 등거리사상으로 작용한다는 조건을 제거하는 것을 목적으로 한다. 더 자세히 말하자면, (쌍곡 공간 작용에 대한 기술 없이) super-divergent한 quasigeodesic을 가진다는 것이 QI-불변인 성질이면서 동시에 중심극한정리를 보장한다는 것을 증명한다.
Genericity of contracting geodesics in groups
Kunal Chawla 및 Giulio Tiozzo와 공저
arXiv:2308.01877 (2023)
Random walks and contracting elements III: Outer space and outer automorphism group
arXiv:2212.12122, 저널 제출 버전 (2022)
랜덤 워크와 축약하는 등거리사상에 관한 논문 시리즈 중 세번째로, 여기서는 Handel과 Mosher의 질문에 답한다. 이는 곧 자유군의 일반적인 외적 자기동형사상(outer automorphism)의 팽창 계수(expansion factor)와 그 역사상의 팽창 계수는 서로 다르다는 것을 증명한다는 뜻이다. 이를 증명하기 위해 완전히 기약인 외적 자기동형사상 (fully irreducible outer automorphism)들의 유계 측지선 사영 성질(bounded geodesic image property)과 중추 시점에서의 방향 전환 기법을 활용하는데, 이를 통해 Outer 공간에서의 큰 수의 법칙, 중심극한정리 및 그 역, 측지선 따라가기 및 큰 이탈 원리 또한 증명한다.
Random walks and contracting elements II: Translation lengths and quasi-isometric embedding
arXiv:2212.12119, 저널 제출 버전 (2022)
랜덤 워크와 축약하는 등거리사상에 관한 논문 시리즈 중 두번째로, 랜덤 워크로부터 얻을 수 있는 일반적인 등거리사상은 축약하는 성질을 가진다는 것과, 랜덤한 등거리사상의 변위와 이동 거리 간의 오차를 논한다. 그후 랜덤한 부분군이 공간에 얼추 등거리적으로 매장됨을 (quasi-isometrically embedded) 관찰하는데, 이는 (Maher와 Tiozzo의 이론을 바탕으로) Taylor와 Tiozzo가 약한 쌍곡 군에 대해 증명한 바 있다. 마지막으로, 앞서 얘기한 현상들을 군 위의 특정 공 안에서 원소를 세는 관점에서도 공부한다.
Random walks and contracting elements I: Deviation inequality and limit laws
arXiv:2207.06597, 저널 제출 버전 (2022)
랜덤 워크와 축약하는 등거리사상에 관한 논문 시리즈 중 첫번째로, 여기서는 이탈 거리 부등식과 그로부터 따라 나오는 결과들, 즉 측지선 따라가기, 중심극한정리, 중첩 대수 법칙 등을 정립한다. 이를 위해 Gouëzel의 중추 시점 구성 및 Baik-Choi-Kim의 방향 전환 기법을 더 일반적인 세팅으로 가져오는데, 이 세팅은 Teichmüller 공간, Outer 공간, CAT(0) 공간들 및 비자명한 Floyd 가장자리를 가지는 군 등을 포함한다. 이 결과들은 이전의 중심극한정리 논문에서의 내용을 한층 발전시킨 것이다. 더불어, 큰 수의 법칙을 위한 지수함수적인 한계들 및 큰 이탈 원리 등도 논의한다.
Pseudo-Anosovs are exponentially generic in mapping class groups
arXiv:2110.06678 (2021),
Geometry and Topology에 게재 예정
요약: 다음과 같은 대대로 구전되어 온 추측이 있다. 사상류 군의 유한 생성 집합 S를 하나 고정했을 때, S에 대한 단어 거리(word metric)을 기준으로 한 반지름 R짜리 공 안의 pseudo-Anosov가 아닌 사상류의 비율이 0으로 수렴해 갈 것인가? 본 논문에서는, 사상류 군 안의 임의의 유한 집합 S’은 이 비율이 지수적으로 감소하게끔 하는 어떤 유한 생성 집합 S 안에 포함된다는 것을 증명한다.
Central limit theorem and geodesic tracking on hyperbolic spaces and Teichmüller spaces
arXiv:2106.13017 (2021),
Advances in Mathematics, Volume 431 (2023), 109236. 저널 버전
- 한국어 버전: 이는 영어 버전을 직역하려는 것이 아닙니다. 한국어로 된 설명을 다른 곳에서 찾을 수 없는 디테일들을 채우려고 합니다.
요약: 본 논문에서는 Gromov 쌍곡 공간 및 Teichmüller 공간에서의 랜덤 워크를 다룬다. 먼저, 랜덤한 등거리사상의 이동 길이가 중심극한정리를 만족한다는 것과 랜덤 워크의 분산이 유한하다는 것과 동치임을 보인다. 이 과정에서 Benoist와 Quint의 정리, 즉 기준점의 변위에 관한 중심극한정리를 재발견하며, 그 역 또한 증명한다. 이들에 대응하는 중첩 로그 법칙 또한 얘기한다. 마지막으로, (1/2)-모멘트가 유한한 랜덤 워크는 선형 오차보다 더 가까이 측지선을 따라간다는 것과, 지수적 모멘트가 유한한 랜덤 워크는 로그 오차 내로 측지선을 따라간다는 것을 증명한다.
Linear growth of translation lengths of random isometries on Gromov hyperbolic spaces and Teichmüller spaces
백형렬 교수님 및 김동률 씨와 공저
arXiv:2103.13616 (2021),
Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu에 게재 예정. 저널 버전
요약: 본 논문에서는 약한 쌍곡 군(weakly hyperbolic group)에서의 랜덤 워크가 만들어 내는 군 원소의 이동거리를 조사한다. 특히, 모멘트 조건 없이도, 초등적이지 않은 랜덤 워크는 최소한 선형적으로 증가한다는 것을 보인다. 그 따름정리로서, 사상류 군 위의 거의 모든 랜덤 워크는 결국에는 pseudo-Anosov가 되고, Out(Fn) 위의 거의 모든 랜덤 워크는 결국에는 완전히 기약(fully irreducible)이게 된다. 만약 기반이 되는 측도가 유한한 1차 모멘트를 가진다면, 이동거리의 증가율은 랜덤 워크의 탈출 속도와 같다.
그 다음으로, 이 기법을 활용하여 Teichmüller 공간에 사상류 군이 작용함으로써 유도되는 랜덤 워크를 조사한다. 특히, 유한 1차 모멘트 조건 하에 스펙트럴 정리를 증명하는데, 이는 Dahmani와 Horbez의 결과를 일반화하는 것이다.
Simple length spectra as moduli for hyperbolic surfaces and rigidity of length identities
백형렬 교수님 및 김동률 씨와 공저
arXiv:2012.05652 (2020)
요약: 본 논문에서는 쌍곡 곡면 위에서의 단순 폐곡선들이 만족하는 고전적인 길이 항등식들을 재조명한다. 이 항등식들이 만족하는 강직성(rigidity)를 기술하고 증명한다. 이 강직성을 바탕으로, 전형적인(generic) 쌍곡 곡면 위의 교차 횟수가 적은 단순 폐곡선 쌍은 각각의 길이를 가지고 특정지을 수 있다.
그 응용으로서, 무한 타입(infinite type)이어도 상관 없는 위상적 곡면 S의 Teichmüller 공간 안에 미미한(meagre) 집합 V를 하나 구성한다. 이때 V 바깥에 있는 S의 (Nielsen-convex) 쌍곡 구조의 등거리 사상류는 마킹을 지운 단순 길이 스펙트럼에 의해 특정지을 수 있다. 한 마디로, 단순 길이 스펙트럼을 전형적인 쌍곡 곡면의 매개변수라고 볼 수 있다는 것을 증명한다. 컴팩트한 곡면의 경우에서는, 길이 스펙트럼에 대한 비슷한 결과를 Wolpert가 얻은 바 있다.
On the surjectivity of the Symplectic representation of the mapping class group
백형렬 교수님 및 김동률 씨와 공저
arXiv:2008.10142 (2020),
Topology and its Applications, Volume 322 (2022), 108334. 저널 버전
요약: 본 논문에서는 사상류 군의 심플렉틱 표현을 공부한다. 특히, 특정 사상류들에 한정했을 때 이 표현이 전사함수인지를 논의한다. 이 표현 자체가 전사함수라는 것은 잘 알려져 있다. 실은 이 표현은 pseudo-Anosov 사상류들에만 한정하더라도 전사함수다. 그러나, 방향 줄 수 있는(orientable) pseudo-Anosov 사상류에 한정하면, 설령 공역을 bi-Perron인 최고 고유값을 가지는 정수 심플렉틱 행렬들로 줄인다고 해도, 전사함수가 아님을 증명한다. 이를 증명하기 위해, 방향 줄 수 있는 pseudo-Anosov 사상류의 심플렉틱 표현으로서 얻어질 수 없고 bi-Perron인 최고 고유값을 가지는 정수 심플렉틱 행렬 무한 개를 구체적으로 구성해 낸다.
Topological entropy of pseudo-Anosov maps from a typical Thurston construction
백형렬 교수님 및 김동률 씨와 공저
arXiv:2006.10420 (2020),
International Mathematics Research Notices, Volume 2022, No. 24, pp. 19762-19904. 저널 버전
요약: 본 논문에서는 전형적인 Thurston's construction에 결부된 랜덤 워크에 대한 정보를 뽑아 내는 방법을 개발한다. 먼저 전형적인 Thurston's construction이 랭크 2인 자유군을 만들어 냄을 관찰한다. 또한, Thurston's construction에 결부된 랜덤 워크 중 Teichmüller 거리 기준으로 유한한 2차 모멘트를 가지는 것에 대한 스펙트럴 정리의 증명을 기술한다. 이것의 더 일반적인 경우는 Dahmani와 Horbez가 언급한 바 있다. 마지막으로, 모멘트 조건이 들어가지 않는 어떤 가정 하에, 랜덤 워크가 결국에는 pseudo-Anosov가 된다는 것을 증명한다. 그 응용으로서, 먼저 pseudo-Anosov 사상으로 붙여 만들어진 mapping torus의 쌍곡 부피에 대한 Kojima와 McShane의 추산에 대한 랜덤 버전을 논의한다. 또다른 응용으로서, Thurston's construction으로 얻어지는 늘임 계수(stretch factor)와, Thurston's construction으로 얻어지는 pseudo-Anosov 사상의 늘임 계수가 되려면 Salem 수를 얼마나 제곱해야 하는지에 대한 확률적이지 않은 추산을 논의한다.
Compensation of aberration and speckle noise in quantitative phase imaging using lateral shifting and spiral phase integration
박용근 교수님 및 이겨레 박사님과 공저, Optics Express, 25(24) pp. 30771-30779 (2017). https://doi.org/10.1364/OE.25.030771